Question

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

Answer 1

分析：（I）利用凸函数的定义，验证函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）满足不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立．
（II）根据已知条件得到a，b，c满足的不等式，将f（4）用f（1），f（2），f（3）表示，从而得到f（4）取最大值时a，b，d 值．
（III）结合凸函数的定义以及梯形的中位线公式得到要证的不等式．

解答：解：（I）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（

x1+x2

2

）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（

x1+x2

2

）²+b（

x1+x2

2

）+c]=ax₁²+ax₂²-

1

2

a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=

1

2

a（x₁-x₂）²             （3分）
∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

），即

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．
（2）因为|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，
所以

-1≤a+b+c≤1 -2≤4a+2b+c≤2 -3≤9a+3b+c≤3

，
又f（4）=16a+4b+c
设16a+4b+c=x（a+b+c）+y（4a+2b+c）+z（9a+3b+c）
所以

x+4y+9z=16 x+2y+3z=4 x+y+z=1

解得x=1，y=-3，z=3
所以f（4）=f（1）-3f（2）+3f（3）
所以-16≤f（4）≤16
所以f（4）的最大值为16
当

a+b+c=1 4a+2b+c=-2 9a+3b+c=3

取得
解得a=4，b=-15，c=12，
（III）因为p＜m＜n＜q，p+q=m+n，y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤2f（p+q）=2f（m+n）
f（m）+f（n））≤2f（m+n）
因为y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

点评：本题是一定新定义的题，考查了不等式的性质及二次函数的性质、待定系数法求函数的定义域．