Question

已知幂函数f(x)=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈N）在（0，+∞）上是增函数，且在定义域上是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，问：是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为幂函数因为函数在（0，+∞）上是增函数得：得到-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，求出p的解集，找出整数解即可．又因为函数是偶函数得到p的整数解，最后写出相应的f（x）的解析式；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数，再利用复合函数的单调性，求出q的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）因为函数在（0，+∞）上是增函数得：
∴-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3
 又因为p∈N
则p=0，2
函数为f(x)=x

3

2

不为偶函数
则p=1．
故f（x）=x²．
（2）存在．
可设x²=t
则函数g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其对称轴为t=

2q-1

2q

  又q＜0，所以抛物线开口向上，
g（x）在区间（-∞，-4）上是减函数，且在（-4，0）上是增函数
所以t必须在区间（16，+∞）上是减函数，且在（0，16）上是增函数
又t=x²本身是增函数，那么对称轴要等于16
即

2q-1

2q

=16   解得q=-

1

30

满足（q＜0）的条件． 
所以存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数．

点评：考查学生幂函数的性质掌握能力，函数奇偶性的判断能力，以及函数单调性的应用能力．