Question

【题目】已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
（Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4， 将 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，（*）
由△=（2cosα）2﹣4×（﹣3）＞0，知方程（*）恒有两个不等实根，
故不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
解：（Ⅱ）设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 ， t2 ， 弦AB中点P对应参数为t0 ，
由（*）知 =﹣cosα，
代入 中，整理，得弦AB的中点的轨迹方程为 ，
即 （α为参数），该曲线为圆
【解析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4，将 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，利用根的判别式能证明不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．（Ⅱ）设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 ， t2 ， 弦AB中点P对应参数为t0 ， 由中点坐标公式求出 =﹣cosα，代入 中，能得到弦AB的中点的轨迹方程，由此能求出结果．