题目内容

【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2.
(Ⅰ)证明:不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点;
(Ⅱ)以α为参数,求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程,并判断该轨迹的曲线类型.

【答案】证明:(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ=2,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4, 将 代入x2+y2=4,得t2+2tcosα﹣3=0,(*)
由△=(2cosα)2﹣4×(﹣3)>0,知方程(*)恒有两个不等实根,
故不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点.
解:(Ⅱ)设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 , t2 , 弦AB中点P对应参数为t0
由(*)知 =﹣cosα,
代入 中,整理,得弦AB的中点的轨迹方程为
(α为参数),该曲线为圆
【解析】(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4,将 代入x2+y2=4,得t2+2tcosα﹣3=0,利用根的判别式能证明不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点.(Ⅱ)设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 , t2 , 弦AB中点P对应参数为t0 , 由中点坐标公式求出 =﹣cosα,代入 中,能得到弦AB的中点的轨迹方程,由此能求出结果.

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