Question

19．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-x+6，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 x≤2时，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而需满足2+log_ax≥4，（x＞2）恒成立，从而可判断a＞1，从而可得出log_a2≥2，这样便可得出实数a的取值范围．

解答 解：x≤2时，-x+6≥4；
∴f（x）的值域为[4，+∞）；
∴x＞2时，2+log_ax≥4恒成立；
∴log_ax≥2，a＞1；
∴log_a2≥2；
∴2≥a²；
解得$1＜a≤\sqrt{2}$；
∴实数a的取值范围为$（1，\sqrt{2}]$．
故答案为：$（1，\sqrt{2}]$．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数恒成立问题的处理方法．