Question

【题目】已知数列的前项和为，点在函数图像上；

(1)证明是等差数列；

(2)若函数，数列满足，记，求数列前项和；

(3)是否存在实数，使得当时， 对任意恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .

【解析】试题分析：（1）由点在函数上可得，利用公式即可得结果；（2），结合（1）可得，利用错位相减法可得结果；（3）对任意恒成立，

等价于任意恒成立，求出的最小项 ，令,解不等式即可的结果.

试题解析：（1）由题意， ，当时， ，

时， ，

当时， ，也适合上式

数列的通项公式为， ； 是等差数列.

（2）函数，

数列满足，

又，

，···①

，···②

①-②得：

，

.

（3）假设存在实数，使得当时， 对任意恒成立，

即任意恒成立，

， 是递增数列，

所以只要，即，解得或.

所以存在最大的实数，使得当时， 对任意恒成立.