Question

（2013•保定一模）设a＞1，b＞1，且ab+a-b-10=0，a+b的最小值为m．记满足x²+y²≤m的所有整点的坐标为（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n），则

n

i=1

|xiyi|=

20

．

Answer 1

分析：对已知进行整理可得，（a-1）（b+1）=9然后利用基本不等式可求a+b的最小值，从而可求m，代入求出符合条件的m即可求解

解答：解：由ab+a-b-10=0可得b（a-1）+（a-1）=9
即（a-1）（b+1）=9
由基本不等式可得，（b+1）（a-1）≤(

b+1+a-1

2

)2=(

a+b

4

)2
∴（a+b）²≥36
当且仅当a=4，b=2时取等号）
故a+b的最小值是6即m=6
从而满足x²+y²≤6的整点有21个，（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2）（1，0），（1，1），（1，2），（1，-1，），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，-1），（-1，-2），（-2，0）（-2，1），（-2，-1）
则

n

i-1

.

xiyi

.

=1+2+1+2+2+2+1+2+1+2+2+2=20
故答案为：20

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用及整数点的求解，解题的关键是求解出m的值