Question

（2013•保定一模）若平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，且|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，则|

a

+

b

+

c

|等于（　　）

• A．2
• B．5
• C．2或5
• D．

  2

  或

  5

Answer 1

分析：由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，由此分别求得

a

•

b

、

b

•

c

、

a

•

c

的值，再根据|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

，运算求得结果

解答：解：由于平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，
再由|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，
①若平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，且都等于120°，
∴

a

•

b

=1×1×cos120°=-

1

2

，

b

•

c

=1×3×cos120°=-

3

2

，

a

•

c

=1×3×cos120°=-

3

2

．
|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

 
=

1+1+9+2(- 1 2 )+2(- 3 2 )+2(- 3 2 )

=2．
②平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，且都等于0°，
则

a

•

b

=1×1=1，

b

•

c

=1×3=3，

a

•

c

=1×3=3，
|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

=

1+1+9+2+6+6

=5．
综上可得，则|

a

+

b

+

c

|=2或5，
故选C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．