题目内容
【题目】已知a,b,c均为正数.
(Ⅰ)求证:a2+b2+( )2≥4
;
(Ⅱ)若a+4b+9c=1,求证: ≥100.
【答案】证明:(Ⅰ)∵a,b均为正数,
∴a2+b2≥2ab, ≥
,
∴a2+b2+ ≥2ab+
,
∴a2+b2+( )2≥2ab+
≥4
,
当且仅当a=b= 时,等号成立.
(Ⅱ)∵a+4b+9c=1,
∴ =(a+4b+9c)(
)=9+16+9+
+
+
≥34+24+18+24=100,
当且仅当a=3b=9c时等号成立
【解析】利用基本不等式,即可证明结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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