Question

【题目】如图所示，在直角坐标系中，曲线由中心在原点，焦点在轴上的半椭圆和以原点为圆心，半径为2的半圆构成，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线的极坐标方程；

（2）已知射线与曲线交于点，点为曲线上的动点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分别写出曲线的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；

（2）把射线代入曲线的极坐标方程，求得点的极经，然后写出的面积，求得其最大值即可.

（1）由题设可知，曲线上半部分的直角坐标方程为，

所以，曲线上半部分的极坐标方程为

曲线下半部分的直角坐标方程为，

所以，曲线下半部分的极坐标方程为，

故曲线的极坐标方程为，.

（2）由题设，将代入曲线的极坐标方程可得：，

又点为曲线上的动点，所以，

由面积公式得：，

当且仅当，时等号成立，

故面积的最大值为.