选修4-2:矩阵与变换给定矩阵A=12-14.B=32．(1)求A的特征值λ1.λ2及对应特征向量α1.α2.(2)求A4B．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

选修4-2：矩阵与变换
给定矩阵A=

1	2
-1	4

，B=

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应特征向量α₁，α₂，
（2）求A⁴B．

分析：（1）由题意已知矩阵A=

1	2
-1	4

，将其代入公式|λE-A|=0，即可求出特征值λ₁，λ₂，然后解方程求出对应特征向量α₁，α₂；
（2）将矩阵B用征向量α₁，α₂，表示出来，然后再代入A⁴B进行计算；

解答：解：（1）设A的一个特征值为λ，
∵|λE-A|=0，
∴由题意知：

λ-1	-2
1	λ-4

=0
∴（λ-2）（λ-3）=0，
λ₁=2，λ₂=3
当λ₁=2时，由

1	2
-1	4

，得A属于特征值2的特征向量α₁=

当λ₂=3时，由

1	2
-1	4

，得A属于特征值3的特征向量α₂=

（2）由于B=

=α₁+α₂
故A⁴B=A⁴（α₁+α₂）=（2⁴α₁）+（3⁴α₂）
=16α₁+81α₂=

113

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力．

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．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

(t为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的极坐标方程为：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：

x=1-

y=t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C₁与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知为实数，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

为参数），C₂的参数方程为

为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若