题目内容
已知等比数列{an}的首项为a1（a1＞0），公比为q（0＜q＜1），且
ai=
，
=121．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间[
，
]内，试求出所有这样的等比数列．
| 5 |
 |
| i=1 |
| 121 |
| 81 |
| 5 |
|
| i=1 |
| 1 |
| ai |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间[
| 1 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
分析：（1）先求得a3=
，进而可得方程a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=
，由此求出公比，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）设无穷等比子列的首项为(
)m，公比为(
)k，且m、k∈N*，则其所有项和
∈[
，
]，从而可得结论．
| 1 |
| 9 |
| 121 |
| 81 |
（2）设无穷等比子列的首项为(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
(
| ||
1-(
|
| 1 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
解答：解：（1）因为
ai=
，
=121，所以a3=
，
∴a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=
，解得q+q-1=
，
又0＜q＜1，所以q=
，此时，an=(
)n-1；
（2）设无穷等比子列的首项为(
)m，公比为(
)k，且m、k∈N*，则其所有项和
∈[
，
]，
即
[1-(
)k]≤(
)m≤
[1-(
)k]，故
≤(
)m≤
，所以m=2，
此时-
≤(
)k≤
，所以k∈N*，
所有满足题意的等比子列是以
为首项，(
)k（k∈N*）为公比的等比数列．
| 5 |
|
| i=1 |
| 121 |
| 81 |
| 5 |
|
| i=1 |
| 1 |
| ai |
| 1 |
| 9 |
∴a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=
| 121 |
| 81 |
| 10 |
| 3 |
又0＜q＜1，所以q=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）设无穷等比子列的首项为(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
(
| ||
1-(
|
| 1 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
即
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
此时-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 15 |
所有满足题意的等比子列是以
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力．
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