Question

15．函数f（x）=lg[-x²+（3a+2）x-3a-1]的定义域为集合A．
（1）设函数y=x²-2x+3（0≤x≤3）的值域为集合B，若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（2）设集合B={x|（x-2a）（x-a²-1）＜0}，是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，利用A∩B=B，可得B⊆A，即可求实数a的取值范围；
（2）对a进行分类讨论后，再由A=B我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到结论．

解答 解：（1）A={x|（x-1）（x-3a-1）＜0}，B=[2，6]，
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴3a-1＞6，
∴a＞$\frac{7}{3}$；
（2）由于2a≤a²+1，当2a=a²+1时，即a=1时，函数无意义，
∴a≠1，B={x|2a＜x＜a²+1}．…
①当3a+1＜1，即a＜0时，A={x|3a+1＜x＜1}，要使A=B成立，则$\left\{\begin{array}{l}{2a=3a+1}\\{{a}^{2}+1=1}\end{array}\right.$，无解；
②当3a+1=1，即a=0时，A=∅，使A=B成立，则2a＞a²+1，无解；
③当3a+1=1，即a＞0时，A={x|2＜x＜3a+1}，要使A=B成立，则$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{{a}^{2}+1=3a+1}\end{array}\right.$，无解
综上，不存在a，使得A=B．

点评 本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．