Question

6．已知函数f（x）=（x²-a）²+（x²-a），x∈[$\frac{1}{4}$，4]
（1）求f（x）的最大值；
（2）若关于x的方程f（x）=2a²有解．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-a，则f（x）可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围，再利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最小值；
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²+t-2a²=0在[$\frac{1}{16}$-a，16-a]上有解，通过（1）求出最值，解不等式可求出a的范围．

解答 解：（1）令t═x²-a，则当x∈[$\frac{1}{4}$，4]时，t关于x的函数是单调递增，
∴t∈[$\frac{1}{16}$-a，16-a]，此时f（x）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当16-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{33}{2}$时，区间[$\frac{1}{16}$-a，16-a]为递减区间，
f（x）_max=f（$\frac{1}{16}$-a）=（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
当$\frac{1}{16}$-a＜-$\frac{1}{2}$＜16-a，即$\frac{9}{8}$＜a＜$\frac{33}{2}$时，f（x）_max=（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$或（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
当$\frac{1}{16}$-a≥-$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{9}{8}$时，区间[$\frac{1}{16}$-a，16-a]为递增区间，
f（x）_max=f（16-a）=（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²+t=2a²在[$\frac{1}{16}$-a，16-a]上有解，
当16-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{33}{2}$时，（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{16}$≤a≤$\frac{17}{16}$，即有a∈∅；
当$\frac{1}{16}$-a≥-$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{9}{8}$时，（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{17}{16}$≤a≤17，即有$\frac{17}{16}$≤a≤$\frac{9}{8}$；
当$\frac{1}{16}$-a＜-$\frac{1}{2}$＜16-a，即$\frac{9}{8}$＜a＜$\frac{33}{2}$时，-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$
或-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$，解得$\frac{1}{16}$≤a≤$\frac{17}{16}$或16≤a≤17．
即有a∈∅．
则实数a的范围是[$\frac{17}{16}$，$\frac{9}{8}$]．

点评 本题主要考查了可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．