题目内容

设a、b、c为△ABC的三条边，求证：1≤
a2+b2+c2ab+bc+ca
＜2．
分析：通过作差法先证明a2+b2+c2-（ab+bc+ac）≥1①，再利用三角形中两边之和大于第三边的性质，去证明2（ab+bc+ca）＜a2+b2+c2，从而可证
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2②，联立①②即可．
解答：证明：∵a、b、c为△ABC的三条边，
∴a2+b2+c2-（ab+bc+ac）
=
1
2
[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=
1
2
[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]≥0，
∴a2+b2+c2-≥ab+bc+ac，
∴
a2+b2+c2
ab+bc+ca
≥1①；
又2（ab+bc+ca）
=（ab+bc）+（bc+ca）+（ca+ab）
=b（a+c）+c（a+b）+a（b+c） 
＞b•b+c•c+a•a
=a2+b2+c2，
∴
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2②；
由①②得：1≤
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2（证毕）．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法，考查推理、证明能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=cos(2x+
π
6
)+sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
C
2
)=
3
2
，求AC的长．
已知函数f（x）=cos（2x-
π
3
）-
1
2
cos2x+1
（1）求函数f（x）的最小正周期及最大值；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
2C
3
)=
7
4
，且C为锐角，求AC的长．
有下列几个命题：①若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设
a
，
b
，
c
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
a
与
b
不共线，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，则|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证a6+b6＞a4b2+a2b4
（2）设a，b，c为△ABC的三条边，求证（a+b+c）2＜4（ab+bc+ca）
（2011•南京模拟）A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED2=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+
π
3
），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网