题目内容

设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），则下列成立的是（　　）
分析：由f′（x）＜f（x），得f′（x）-f（x）＜0，然后构造函数F(x)=
f(x)
ex
，利用导数研究函数F(x)=
f(x)
ex
的单调性，得出选项．
解答：解：因为f′（x）＜f（x），所以得f′（x）-f（x）＜0．
构造函数F(x)=
f(x)
ex
，则F′(x)=
f′(x)ex-f(x)ex
(ex)2
=
f′(x)-f(x)
ex
，
因为f′（x）-f（x）＜0，ex＞0，
所以F'（x）＜0，即函数在定义域上单调递减，所以
f(2)
e2
＜
f(0)
e0
＜
f(-1)
e-1
，
即e-2f（2）＜f（0）＜ef（-1）．
故选D．
点评：本题考查导数与函数单调性的关系．构造函数F(x)=
f(x)
ex
是解决这类题目的关键．
练习册系列答案
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13、设函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f-1（x）-x的图象一定过点
（-1，2）
．
设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
设函数y=f（x）的导函数是y=f′（x），称εyx=f′(x)•
x
y
为函数f（x）的弹性函数．
函数f（x）=2e3x弹性函数为
3x
3x
；若函数f1（x）与f2（x）的弹性函数分别为εf 1x与εf 2x，则y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的弹性函数为
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）与f2（x）表示）
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函数f（x）=2-x-e-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），则K的最小值为
1
1
．
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函数f（x）=2+x+e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）

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