题目内容
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数fk（x）=
，取函数f（x）=2+x+e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（ ）
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分析：由已知条件可得k≤f（x）min，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．
解答：解：由题意可得出k≤f（x）min，
由于f′（x）=1-e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e0解出x=0，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最小值f（0）=2+1=3．
故当k≤3时，恒有fk（x）=f（x）
因此k的最大值为3．
故选C．
由于f′（x）=1-e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e0解出x=0，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最小值f（0）=2+1=3．
故当k≤3时，恒有fk（x）=f（x）
因此k的最大值为3．
故选C．
点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．
练习册系列答案
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设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 fk(x)=
，取函数f（x）=2-x-e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（ ）
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| A、K的最大值为2 |
| B、K的最小值为2 |
| C、K的最大值为1 |
| D、K的最小值为1 |