题目内容

设函数y=f(x)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件:①对任意正数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=-1.
(1)求f(1),f(
19
)的值;
(2)证明:f(x)在R+上是减函数;
(3)如果不等式分f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
分析:(1)求f(1),f(
1
9
)的值只需令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y)即可求得f(1);同理求出f(9),令x=9,xy=1,代入等式即可求得答案;
(2)证明f(x)在R+是减函数;取定义域中的任意的x1,x2,且0<x1<x2然后根据关系式f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x1)>f(x2)即可;
(3)由(1)的结果可将不等式f(x)+f(2-x)<2转化成f[x(2-x)]<f(
1
9
),再根据单调性,列出不等式,解出取值范围即可.
解答:解:(1)令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2,
且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,则f(
1
9
)=2;
(2)取定义域中的任意的x1,x2,且0<x1<x2
f(x2)-f(x1)=f(x1
x2
x1
)-f(x1)=f(x1)+f(
x2
x1
)-f(x1)=f(
x2
x1
)<0
∴f(x)在R+上为减函数.
(3)由条件①及(1)的结果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
),其中0<x<2,
由可(2)得:
x(2-x)> 
1
9
0<x<2
,解得x的范围是(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
点评:此题主要考查抽象函数的一系列问题.其中涉及到函数单调性的证明,函数值的求解问题,属于综合性问题,涵盖知识点较多,属于中档题.
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