Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（　　）

• A、2

  3

• B、2

  5

• C、4

  3

• D、4

  5

Answer 1

分析：根据题意，点（-2，-1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．

解答：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），
即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y²=2px的准线方程为x=-

p

2

，则p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±

1

2

x，
由双曲线的性质，可得b=1；
则c=

5

，则焦距为2c=2

5

；
故选B．

点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．