Question

14．已知圆M：（x-2）²+y²=1，Q是y轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）如果|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设E为MQ与AB的交点，由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，得|ME|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-|\frac{AB}{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，由三角形相似求得MQ的长度，进一步求出Q的坐标，则直线MQ的方程可求；
（2）设P（x，y），Q（0，a）由点M，P，Q在一条直线上，得$\frac{a}{-2}=\frac{y-0}{x-2}$，即a=$\frac{-2y}{x-2}$，由△PMB∽△BMQ可得：|BM|²=|MP||MQ|，由此能求出动弦AB的中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）如图，
设E为MQ与AB的交点，由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
可得|ME|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-|\frac{AB}{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
由△EMB∽△BQM可得：|MQ|=3，
在Rt△QOM中，|OQ|=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴点Q坐标为（0，$\sqrt{5}$）或（0，-$\sqrt{5}$），
∴直线MQ的方程是$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{5}}=1$或$\frac{x}{2}-\frac{y}{\sqrt{5}}=1$．
即$\sqrt{5}x$+2y-2$\sqrt{5}$=0或$\sqrt{5}$x-2y-2$\sqrt{5}$=0；
（2）设P（x，y），Q（0，a）由点M，P，Q在一条直线上，
得$\frac{a}{-2}=\frac{y-0}{x-2}$，
∴a=$\frac{-2y}{x-2}$，①
由△PMB∽△BMQ可得：|BM|²=|MP||MQ|，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+4}$=1，②
由①②消去a得$（x-\frac{7}{4}）^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{16}$（x＜2）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，解题时要注意合理地进行等价转化，属中档题．