题目内容

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点．
（1）求异面直线DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．

解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC₁为坐标轴，建立空间直角坐标系
C-xyz．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1）．
所以 $\text{[math]}$ =（-2，0，1）， $\text{[math]}$ =（0，-2，-2）．
所以cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
即异面直线DC₁与B₁C所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
（2）因为 $\text{[math]}$ =（0，2，0）， $\text{[math]}$ =（2，0，0）， $\text{[math]}$ =（0，0，2），
所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
所以 $\text{[math]}$ 为平面ACC₁A₁的一个法向量．
因为 $\text{[math]}$ =（0，-2，-2）， $\text{[math]}$ =（2，0，1），
设平面B₁DC₁的一个法向量为n，n=（x，y，z）．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以二面角B₁-DC-C₁的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）以C为原点，CA、CB、CC₁为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
（2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．
点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系．