题目内容

【题目】节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=30km,BC=15km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为ykm.
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定O点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到0.01km).

【答案】解:(1)由已知得y=
即y=15+15x(其中
(2)记p=,则sinx+pcosx=2,则有
解得
由于y>0,所以,当x=,即点O在CD中垂线上离点P距离为(15-15)km处,y取得最小值15+15(km)
【解析】(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度,即可得到所求函数关系式;
(2)记p= , 则sinx+pcosx=2,求出p的范围,即可得出结论.

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