Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，即 a²=b²+c²+bc． 由余弦定理得
a²=b²+c²-2bc•cosA，故 cosA=-，∴A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=cosB+sinB=sin（B+60°）．
因为 0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴＜sin（B+60°）≤1，
故 sinB+sinC的取值范围是 （ ，1]．
分析：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根据正弦定理得 a²=b²+c²+bc，再由余弦定理求得cosA=-，A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sin（B+60°），根据60°＜B+60°＜120，求得 ＜sin（B+60°）≤1，从而求得sinB+sinC的取值范围．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，两角和差的正公式的应用，属于中档题．