题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F1、F2．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过(-
4
9
，0)，求椭圆方程．
分析：（I）根据椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，可得b=c，从而可求椭圆C的离心率；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），利用直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过(-
4
9
，0)，求出弦AB中点坐标，从而可求椭圆方程．
解答：解：（I）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴a=
b2+c2
=
2
c
∴e=
c
a
=
2
2
；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），则
-
1
2
m
n
=2
-
1
2
=
0-n
-
4
9
-m
，
∴m=-
8
9
，n=
2
9
，
又2=
2
9
-
8
9
+c
，∴c=1，b=1，a2=2
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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