题目内容
【题目】已知椭圆:
经过点
,离心率为
,点
为椭圆
的右顶点,直线
与椭圆相交于不同于点
的两个点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求
面积的最大值;
(Ⅲ)若直线的斜率为2,求证:
的外接圆恒过一个异于点
的定点.
【答案】(I);(II)
;(III)
.
【解析】
试题(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率,列方程组,可求得的值.(II)当直线斜率不存在时,设出直线方程,代入椭圆方程,求出
两点坐标,代入
,可求得直线方程,进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时,设出直线方程,联立直线的方程和椭圆的方程 ,写出韦达定理,利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式,并利用二次函数求最值的方法求得最大值.(III)设出直线
方程和外接圆的方程,分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程,化简后的两个方程同解,通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标.
试题解析:
解:(Ⅰ)由题意知:且,
可得:,
椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,设
,与
联立得:
.
由于,得
,解得
或
(舍去).
此时,
的面积为
.
当直线的斜率存在时,设
,与
联立得:
.
由,得
;
且,
.
由于,
得:.
代入式得:
,
即或
(此时直线
过点
,舍去).
,
点到直线
的距离为:
.
的面积为
,将
代入得:
的面积为
.
面积的最大值为
.
(Ⅲ)设直线的方程为
,联立方程
得:
①.
设的外接圆方程为
:联立直线
的方程
的:
②.
方程①②为同解方程,所以:.
又由于外接圆过点,则
.
从而可得到关于的三元一次方程组:
,解得:
.
代入圆的方程为:.
整理得:;
所以,解得
或
(舍去).
的外接圆恒过一个异于点
的定点
.
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