Question

已知函数y=2sinx（sinx+cosx）-1
（1）求函数的最小正周期
（2）求函数的递增区间
（3）画出此函数在区间[-

π

2

，

π

2

]上的图象．

Answer 1

分析：（1）首先整理函数的式子，进行三角函数式的恒等变换，先相乘，再用二倍角公式进行降幂，再利用辅角公式写出最简结果，用周期公式做出周期．
（2）根据正弦曲线的递增区间，写出使得函数的角在这一个区间上，解出其中的x的值，求出函数的单调区间．
（3）根据所给的区间，列出表格，取出几个关键点，画出坐标系，在坐标系中描出各个点，用光滑曲线把点连接起来，单调函数的图象．

解答：解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin(2x-

π

4

)
∴最小正周期为π
（2）根据正弦曲线的递增区间知当2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
即x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]
∴函数的递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈z）
（3）首先列出表格

x	- π 2	- π 8	π 8	3π 8	π 2
2x- π 4	- 5π 4	- π 2	0	π 2	3π 4
y	1	- 2	0	2	1

点评：本题考查三角函数的变换和三角函数的性质，这是一个非常适合作为高考题目的题，这种题目注意三角恒等变换时不要出错，不然后面的运算都会出错．