题目内容

【题目】各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件: ①a1=m(m∈N*);②an≤n﹣1(n≥2);③n是a1+a2+…+an的因数(n≥1).
(Ⅰ)当m=5时,写出数列{an}的前五项;
(Ⅱ)若数列{an}的前三项互不相等,且n≥3时,an为常数,求m的值;
(Ⅲ)求证:对任意正整数m,存在正整数M,使得n≥M时,an为常数.

【答案】解:(Ⅰ) m=5时,数列{an}的前五项分别为:5,1,0,2,2.

(Ⅱ)∵0≤an≤n﹣1,∴0≤a2≤1,0≤a3≤2,

又数列{an}的前3项互不相等,

⑴当a2=0时,

若a3=1,则a3=a4=a5=…=1,

且对n≥3, 都为整数,∴m=2;

若a3=2,则a3=a4=a5=…=2,

且对n≥3, 都为整数,∴m=4;

⑵当a2=1时,

若a3=0,则a3=a4=a5=…=0,

且对n≥3, 都为整数,∴m=﹣1,不符合题意;

若a3=2,则a3=a4=a5=…=2,

且对n≥3, 都为整数,∴m=3;

综上,m的值为2,3,4.

(Ⅲ)证明:对于n≥1,令Sn=a1+a2+…+an

又对每一个n, 都为正整数,∴ ,其中“<”至多出现m﹣1个.

故存在正整数M>m,当n>M时,必有 成立.

时,则

从而

由题设知 ,又 及an+1均为整数,

=an+1= ,故 =常数.

从而 =常数.

故存在正整数M,使得n≥M时,an为常数


【解析】(Ⅰ)当m=5时,写出数列{an}的前五项;(Ⅱ)对a2、a3分类取值,再结合各项均为非负整数列式求m的值;(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an,则 .进一步推得存在正整数M>m,当n>M时,必有 成立.再由 成立证明an为常数.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).

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