题目内容

已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2
2
=0相切.
(1)求圆O的方程;
(2)过点(1,
3
3
)的直线l截圆所得弦长为2
3
,求直线l的方程;
(3)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1k2=-2,试证明直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标.
分析:(1)由圆O与直线相切,得到圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于r的方程,求出方程的解得到r的值,即可确定出圆的方程;
(2)分两种情况考虑:当直线l斜率不存在时,直线x=1满足题意;当直线l斜率存在时,设出直线方程,根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离d=r,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出此时直线l的方程,综上,得到满足题意直线l的方程;
(3)根据题意求出A的坐标,设出直线AB的解析式,与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之积,将A的横坐标代入表示出B的横坐标,进而表示出B的纵坐标,确定出B坐标,由题中k1k2=-2,表示出C坐标,进而表示出直线BC的解析式,即可确定出直线BC恒过一个定点,求出定点坐标即可.
解答:解:(1)∵圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2
2
=0相切,
∴圆心O到直线的距离d=
2
2
12+(-1)2
=2=r,
∴圆O的方程为x2+y2=4;   
(2)若直线l的斜率不存在,直线l为x=1,
此时直线l截圆所得弦长为2
3
,符合题意;
若直线l的斜率存在,设直线为y-
3
3
=k(x-1),即3kx-3y+
3
-3k=0,
由题意知,圆心到直线的距离为d=
|
3
-3k|
9k2+9
=1,解得:k=-
3
3

此时直线l为x+
3
y-2=0,
则所求的直线为x=1或x+
3
y-2=0;
(3)由题意知,A(-2,0),设直线AB:y=k1(x+2),
与圆方程联立得:
y=k1(x+2)
x2+y2=4

消去y得:(1+k12)x2+4k12x+(4k12-4)=0,
∴xA•xB=
4k12-4
1+k12

∴xB=
2-2k12
1+k12
,yB=
4k1 
1+k12
,即B(
2-2k12
1+k12
4k1 
1+k12
),
∵k1k2=-2,用
-2
k1
代替k1得:C(
2k12-8
4+k12
-8k1 
4+k12
),
∴直线BC方程为y-
-8k1 
4+k12
=
4k1 
1+k12
-
-8k1 
4+k12
2-2k12
1+k12
-
2k12-8
4+k12
(x-
2k12-8
4+k12
),
即y-
-8k1 
4+k12
=
3k1
2-k12
(x-
2k12-8
4+k12
),
整理得:y=
3k1
2-k12
x+
2k1
2-k12
=
3k1
2-k12
(x+
2
3
),
则直线BC定点(-
2
3
,0).
点评:此题考查了圆的标准方程,以及直线与圆的位置关系,涉及的知识有:韦达定理,直线的两点式方程,点到直线的距离公式,以及恒过定点的直线方程,利用了分类讨论的思想,是一道综合性较强的试题.
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