题目内容

已知在三棱锥S-ABC中,底面是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,M,N分别是AB,SB的中点,SA=SC=2
3

(1)求证AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的大小
(3)求点B到面CMN的距离.
(1)取AC中点D,连接SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB,
又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(2)∵AC⊥平面SDB,AC?平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连接NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NESD.
∵SN=NB,∴NE=
1
2
SD=
1
2
SA2-AD2
=
1
2
12-4
=
2
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
1
4
MB=
1
2

在Rt△NEF中,tan∠NFE=
EN
EF
=2
2

∴二面角N-CM-B的大小是arctan2
2

(3)在Rt△NEF中,NF=
EF2+EN2
=
3
2

∴S△CMN=
1
2
CM•NF=
3
2
3
,S△CMB=
1
2
BM•CM=2
3

设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
1
3
S△CMN•h=
1
3
S△CMB•NE,
∴h=
S△CMB•NE
S△CMN
=
4
3
2
.即点B到平面CMN的距离为
4
3
2

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