题目内容
已知在三棱锥S-ABC中,底面是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,M,N分别是AB,SB的中点,SA=SC=2
:
(1)求证AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的大小
(3)求点B到面CMN的距离.
3 |
(1)求证AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的大小
(3)求点B到面CMN的距离.
(1)取AC中点D,连接SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB,
又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(2)∵AC⊥平面SDB,AC?平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连接NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=
SD=
=
=
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
MB=
,
在Rt△NEF中,tan∠NFE=
=2
,
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2
.
(3)在Rt△NEF中,NF=
=
,
∴S△CMN=
CM•NF=
,S△CMB=
BM•CM=2
.
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
∴
S△CMN•h=
S△CMB•NE,
∴h=
=
.即点B到平面CMN的距离为
.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB,
又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(2)∵AC⊥平面SDB,AC?平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连接NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=
1 |
2 |
1 |
2 |
SA2-AD2 |
1 |
2 |
12-4 |
2 |
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
1 |
4 |
1 |
2 |
在Rt△NEF中,tan∠NFE=
EN |
EF |
2 |
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2
2 |
(3)在Rt△NEF中,NF=
EF2+EN2 |
3 |
2 |
∴S△CMN=
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
∴
1 |
3 |
1 |
3 |
∴h=
S△CMB•NE |
S△CMN |
4 |
3 |
2 |
4 |
3 |
2 |
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