Question

（2012•黄浦区一模）已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数g（x）=

1

2

|f（x+

π

12

）|+

1

2

|f（x+

7π

12

）|（x∈R），试判断函数g（x）的奇偶性，写出函数g（x）的最小正周期并说明理由；
（3）求函数g（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，得f（x）=2sin（2x-

π

6

）．再用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，可得到函数由曲线y=sinx的图象经变换的过程．
（2）根据（1）得到的表示式代入化简，得g（x）=2|sin2x|．因此不难由正弦函数的奇偶性，证出g（x）是偶函数，再结合正弦曲线的形状，可得g（x）的最小正周期．
（3）注意到函数g（x）的最小正周期是

π

2

，只需研究g（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性和最值，再结合函数的周期性，即可得到函数g（x）的单调区间和值域．

解答：解（1）∵f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x-cos2x=2（sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

），
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
∴函数f（x）的图象可由y=sinx的图象按如下方式变换得到：
①将函数的y=sinx图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=sin（x-

π

6

）的图象；
②将函数y=sin（x-

π

6

）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），
得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象； 
③将函数y=sin（2x-

π

6

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），
得到函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）的图象．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

），x∈R
∴g（x）=

1

2

|f（x+

π

12

）|+

1

2

|f（x+

7π

12

）|=

1

2

|2sin2x|+

1

2

|2sin（2x+π）|=2|sin2x|．
又对任意x∈R，有g（-x）=2|sin（-2x）|=2|sin2x|=g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
∵函数y=2sin2x的最小正周期是π，
∴结合函数图象可知，函数g（x）=2|sin2x|的最小正周期是T=

π

2

．
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，

π

2

]内的单调区间和函数值的取值范围．
当x∈[0，

π

2

]时，2x∈[0，π]，此时g（x）=2sin2x．
易知，此时g（x）的单调增区间是[0，

π

4

]，单调减区间是[

π

4

，

π

2

]；
函数的取值范围是g（x）∈[0，2]．
因此，由周期函数的性质，可知函数g（x）=2|sin2x|的单调增区间是[

1

2

kπ，

π

4

+

1

2

kπ]；
单调减区间是[

π

4

+

1

2

kπ，

π

2

1

2

kπ]，其中k∈Z．函数的g（x）值域是[0，2]．

点评：本题以一个特殊三角函数式为例，叫我们求函数的单调区间与值域，着重考查了三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性和周期性等知识点，属于基础题．