Question

某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可选择：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+7；③f（x）=log_q（x+p）．其中p，q均为常数且q＞1．（注：x表示上市时间，f（x）表示价格，记x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，x∈[0，5]）
（Ⅰ）在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
（Ⅱ）对（I）中所选的函数f（x），若f（2）=11，f（3）=10，记g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

，经过多年的统计发现，当函数g（x）取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲找出能较准确体现该种水果的价格变化态势的模拟函数，主要依据是该种水果价格变化趋势，故可从三个函数的单调上考虑；
（Ⅱ）由题中条件：f（2）=11，f（3）=10得方程组，求出p，q即可，从而得到g（x）的解析式即可求出x取何值时函数g（x）取得最大值，得到所求．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应该选择②f（x）=px²+qx+7；
（Ⅱ）∵f（2）=11，f（3）=10，
∴

4p+2q+7=11 9p+3q+7=10

，
解得：

p=-1 q=4

，
∴f（x）=-x²+4x+7，
则g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

=

-x2+2x-6

x+1

，
∴g（x）=-[

9

x+1

+（x+1）-4]≤-（2

9

-4）=-2，当且仅当x+1=3即x=2时等号成立，
∴预测明年拓展外销市场的时间是6月1号．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．