Question

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点。

（1）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求异面直线ME与BN所成角的余弦值。

Answer 1

（1）（2）

试题分析：(1)如图，连接MD

∵平面ABCD ⊥平面DCEF  ①
ND⊥CD，ND平面DCEF   ②
CD=面ABCD面DCEF     ③
由①②③知ND⊥平面ABCD，
∴∠DMN即为MN 与面ABCD所成角，
设CD=a,则ND=,MN=，
∴.
(2)如图，在CD的延长线上取点G，使DG=DC,再以DG为公共边作正方形DGUA及DGVF,

H,K分别为GV,NH之中点，连接MK,EK.
∵NK∥CD,NK=CD,BM∥CD,BM=CD,
∴四边形BMKN为平行四边形,∴BN∥MK,
∴∠EMK即为异面直线BN与ME所成角,
设CD=a,则 ME=BN=,EK=,
由余弦定理得.
点评：点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解决此类问题时，要紧扣相应的判定定理和性质定理，要将定理中要求的条件一一列举出来，缺一不可.