Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)判断函数能否有3个零点？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不可能有个零点；说明见解析

【解析】

（1）求导后，根据导函数零点的分布情况在不同的取值范围情况下讨论导函数的正负，从而得到函数的单调性；（2）采用反证法，假设有个零点，可知需满足或；当时，可得极大值，从而知不可能有个零点；当时，可得极大值，将其看做关于的函数，通过导数可判断出，从而可知不可能有个零点；可知假设错误，即不可能有个零点.

（1）由题意知：函数定义域为

①若，则

当时，，则为减函数

当时，，则为增函数

②若

当或时，，则为增函数

当时，，则为减函数

③若，则，故在上增函数

④若

当或时，，则为增函数

当时，，则为减函数

（2）若函数有个零点，由（1）可知，必有或

①若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值

此时不可能有个零点

②若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值

则，

，即 在上单调递增

在上单调递减

当时，

此时不可能有个零点

综上所述：函数不可能有个零点