Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且 ，证明：|b|＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，

当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，

解得：x≥4，

当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，

x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，

综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}

（2）证明：

|ab﹣2|＞|a|| ﹣2|

|ab﹣2|＞|b﹣2a|

（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2

a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0

（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，

∵|a|＞1，

∴a2﹣1＞0，

∴b2﹣4＞0，

∴|b|＞2，证毕

【解析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（ ），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．