题目内容

20.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$(x>0)(e为自然对数的底数).
(1)若f(e)=2e2-1,求实数m的值;
(2)求函数g(x)的最小值;
(3)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数m的取值范围.

分析 (1)运用代入法,解方程即可得到m;
(2)运用基本不等式,即可得到最小值;
(3)函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,即为y=f(x)和y=g(x)的图象有两个交点,分别求得函数f(x)的最大值和g(x)的最小值,即可得到m的范围.

解答 解:(1)函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
则f(e)=-e2+2e2+m-1=2e2-1,
解得m=e2
(2)当x>0时,g(x)=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{{e}^{2}}{x}}$=2e,
当且仅当x=e时,g(x)取得最小值,且为2e;
(3)函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,
即为y=f(x)和y=g(x)的图象有两个交点,
由于g(x)在x=e处取得最小值2e,
f(x)=-(x-e)2+e2+m-1,即有f(x)在x=e处取得最大值e2+m-1,
则有e2+m-1>2e,
解得m>2e+1-e2
则实数m的取值范围是(2e+1-e2,+∞).

点评 本题考查函数的最值的求法,同时考查基本不等式的运用和二次函数的最值的求法,以及函数和方程的转化思想的运用,属于中档题.

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