题目内容

已知集合A={x|x2-2ax+4a2-3=0},集合B={x|x2-x-2=0},集合C={x|x2+2x-8=0}
(1)是否存在实数a,使A∩B=A∪B?若存在,试求a的值,若不存在,说明理由;
(2)若A∩B≠?,A∩C=∅,求a的值.
分析:(1)利用条件A∩B=A∪B,得A=B,然后根据集合相等确定a的值,
(2)根据A∩B≠?,A∩C=∅,即可求a的值.
解答:解:(1)若A∩B=A∪B,则A=B,
∵B={x|x2-x-2=0}={-1,2},
∴A={-1,2},
即-1和2是方程x2-2ax+4a2-3=0的两个根,
-1+2=2a
-1×2=4a2-3

a=
1
2
.满足△>0,∴a存在.
(2)若A∩B≠?,A∩C=∅,则可知集合A中无-4,2.至少有一个元素-1.
当A={-1}时,
△=0
(-1)2-2a(-1)+4a2-3=0
∴a=-1

当A={-1,x},x≠2时,
△>0
(-1)2-2a(-1)+4a2-3=0
∴a无解
点评:本题主要考查了集合的基本运算,以及集合关系的应用,考查学生的运算和推理能力.
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