Question

2．已知函数f（x）=lnx-2ax³（a＞0），若|f（x）|≥$\frac{1}{2}$对于任意的x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{e}}{6}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{e}}{6}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=2ax³-lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．

解答 解：显然x=1时，有|2a|≥$\frac{1}{2}$，a≤-1或a≥$\frac{1}{4}$．
由a＞0，即有a≥$\frac{1}{4}$；
令g（x）=2ax³-lnx，g′（x）=6ax²-$\frac{1}{x}$，
当a≥$\frac{1}{4}$时，对任意x∈（0，1]，g′（x）=$\frac{6a{x}^{3}-1}{x}$=0，
解得x=$\root{3}{\frac{1}{6a}}$，
函数在（0，$\root{3}{\frac{1}{6a}}$）上单调递减，在（$\root{3}{\frac{1}{6a}}$，+∞）上单调递增，
∴|g（x）|的最小值为g（$\root{3}{\frac{1}{6a}}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$ln（6a）≥$\frac{1}{2}$，
解得：a≥$\frac{\sqrt{e}}{6}$．
∴实数a取值范围是[$\frac{\sqrt{e}}{6}$，+∞）．
故选A．

点评 本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查运算能力，正确求导是关键．