题目内容
10．函数f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在区间[-3，3]上零点的个数为（ ）| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
分析 令g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，由其导函数判断其在[-3，3]上为单调函数，且有一个零点，而y=cos2x在区间[-3，3]上有4个零点，则答案可求．
解答 解：设g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，
则g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2014=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$，
在区间[-3，3]上，$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$）+（-$\frac{x^4}{4}$+$\frac{{x}^{5}}{5}$）+…+（-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$）+（-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．
点评 本题考查基本初等函数的导函数的求法，考查了函数零点的判断，是中档题．
通城学典默写能手系列答案
如图，C是⊙O的直径AB上一点，CD⊥AB，与⊙O相交于点D，与弦AF交于点E，与BF的延长线交于点G，GT与⊙O相切于点T．| A． | 若m⊥α，m⊥β，则α∥β | B． | 若m⊥α，n⊥α，则m∥n | C． | 若α∥γ，β∥γ，则α∥β | D． | 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β |
如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．| A． | $f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{3}{4}}）＜f（{\frac{2}{3}}）$ | B． | $f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{2}{3}}）＜f（{\frac{3}{4}}）$ | C． | $f（{\frac{3}{4}}）＜f（{\frac{2}{3}}）＜f（{-\frac{1}{2}}）$ | D． | $f（{\frac{2}{3}}）＜f（{-\frac{1}{2}}）＜f（{\frac{3}{4}}）$ |
| A． | E，F，G，H四点不共面 | B． | EFGH是梯形 | ||
| C． | EG⊥FH | D． | EFGH是矩形 |