题目内容
【题目】已知函数f(x)=aln(x+2)﹣x2在(0,1)内任取两个实数p,q,且p>q,若不等式 恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,24]
B.(﹣∞,12]
C.[12,+∞)
D.[24,+∞)
【答案】D
【解析】解:根据题意,由 ,变形可得得f(p+1)﹣f(q+1)>2(p﹣q), 则f(p+1)﹣2(p+1)>f(q+1)﹣2(q+1),
令g(x)=f(x)﹣2x,则有g(p+1)>r(q+1)
又由实数p、q∈(0,1),且p>q,
所以函数g(x)=f(x)﹣2x在(1,2)上单调递增,
从而 在x∈(1,2)上恒成立
即a≥[(x+2)(2x+2)],亦即a≥[(x+2)(2x+2)]max
又函数y=(x+2)(2x+2)=2(x2+3x+2)在x∈[1,2]上单调递增
所以[(x+2)(2x+2)]max=24,
所以a≥24;
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识,掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集,以及对利用导数研究函数的单调性的理解,了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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