题目内容
18、a、b、c是△ABC的三边，求证a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．
分析：先将待证不等式的右侧变形为a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），利用三角形中边的关系进行放缩即可．
解答：证明：2（ab+bc+ac）可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
因三角形两边和大于第三边，
即b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c
故a2=a×a＜a（b+c），b2=b×b＜b（a+c），c2=c×c＜c（a+b）
所以a2+b2+c2＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
∴a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
因三角形两边和大于第三边，
即b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c
故a2=a×a＜a（b+c），b2=b×b＜b（a+c），c2=c×c＜c（a+b）
所以a2+b2+c2＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
∴a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．
点评：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．
练习册系列答案
相关题目