Question

（2012•大连模拟）已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（Ⅰ）求B₀的大小；
（Ⅱ）当B=

3B0

4

时，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式得到2b=a+c，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入，整理后，利用基本不等式可得出cosB的最小值，根据余弦函数在（0，π）上单调递减，利用特殊角的三角函数值即可求出B的最大值；
（Ⅱ）设所求的式子为x，记作①，由B与B₀的关系及B₀的度数，求出B的度数，代入已知的等式sinA+sinC=2sinB中，得到sinA+sinC的关系式，记作②，由①²+②²化简后，根据B的度数，求出A+C的度数，代入化简后的式子中，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化简得：2b=a+c，即b=

a+c

2

，
由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

（2分）
=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

3(2ac)-2ac

8ac

=

1

2

，（4分）
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
则B的最大值为B₀=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
∵B=

3B0

4

=

π

4

，
∴sinA+sinC=2sinB=

2

，②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又A+C=π-B=

3π

4

，
∴x=±

4	2

，即cosA-cosC=±

4	2

．（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式，余弦函数的单调性，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．