题目内容
【题目】如图,在棱长为1的正方体中,动点
在线段
上运动,且有
.
(1)若,求证:
;
(2)若二面角的平面角的余弦值为
,求实数
的值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)当时,
与
重合,连接
,可得
,再由正方体特征可证得
,即可证得
平面
,问题得证。
(2)以为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系.分别求出平面
的一个法向量
及平面
的一个法向量
,利用向量夹角的坐标表示列方程即可求得
,问题得解。
(1)当时,
与
重合,连接
,
则在正方形中,
.
又在正方体中底面
,而
平面
,所以
.
,所以
平面
,
而平面
,所以
,也即
.
(2)依题意,以为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
.
,
,
.
设平面的一个法向量
,
则,即
,
取得
.
设平面的一个法向量
,
则,即
,
取得
.
所以
,
解得或
.
因为,所以
.

练习册系列答案
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【题目】某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛,抽取了近期两人次数学考试的成绩,统计结果如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲的成绩(分) | |||||
乙的成绩(分) |
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛,你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:
方案一:每人从道备选题中任意抽出
道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰.
方案二:每人从道备选题中任意抽出
道,若至少答对其中
道,则可参加复赛,否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的
道,那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.