Question

20．若x∈[0，1]，则函数f（x）=$\frac{{x}^{2}（1-x）^{2}}{{x}^{2}-x+1}$的最大值为$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 运用换元，令t=$\frac{1}{{x}^{2}-x}$∈（-∞，-4]，y=t²+t，f（x）=$\frac{1}{y}$，运用二次函数的值域求法，即可得到所求最大值．

解答 解：由x∈[0，1]，可得-$\frac{1}{4}$≤x（x-1）≤0，
当x=0时，y=0；
当0＜x≤1时，f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{（{x}^{2}-x）^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，
令t=$\frac{1}{{x}^{2}-x}$∈（-∞，-4]，
由y=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥（-4）²-4=12，
即有f（x）≤$\frac{1}{12}$，
则当x=$\frac{1}{2}$时，取得最大值$\frac{1}{12}$．
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．