Question

【题目】已知抛物线上一点,与关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于、两点，且、在直线两侧．

（1）求证：平分；

（2）点为抛物线在、处切线的交点，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证平分，只需证直线倾斜角互补，只需证斜率和为0，设直线方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理，即可求证；

（2）方程化为，求导，求出抛物线在、处切线的斜率，继而求出切线方程，联立两切线方程，求出点坐标，，到直线距离相等，即可求出直线的方程.

（1）与关于抛物线的对称轴对称，

设直线的方程为，

联立，消去得，，

设，

=，

直线倾斜角互补，轴，

，平分；

（2）抛物线，，

在点处的切线方程为，①

同理在点处的切线方程为， ②

由①②得， ，

到直线的距离相等，

由点到直线的距离公式得：

，

所求的直线方程为.