题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:(x+1)2+y2= 的圆心为M,圆N:(x﹣1)2+y2=
的圆心为N,一动圆与圆M内切,与圆N外切.
(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与曲线P交于A,B两点,若 =﹣2,求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则|PM|= ﹣r,|PN|=r+
.
两式相加,得|PM|+PN|=4>|MN|,
由椭圆定义知,点P的轨迹是以M、N为焦点,焦距为2,实轴长为4的椭圆,其方程为 .
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则 ,
,
.当直线的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去y,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,则有
,
,
=
=
.
由已知,得 ,解得
.
故直线l的方程为
【解析】(Ⅰ)根据两圆内外切的性质可得出|PM|+PN|=4>|MN|,即为椭圆由已知可求出方程。(Ⅱ)分情况讨论直线斜率存在和不存在,当斜率不存在时不成立;而当斜率存在时,设出直线方程和椭圆联立,消去y 由韦达定理求出 x 1 + x 2、 x1x2 的值,代入到向量的数量积坐标运算公式即可求出 k的值进而得出直线方程。
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的概念(平面内与两个定点,
的距离之和等于常数(大于
)的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距).
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