题目内容

【题目】已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有 <0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:

化简得y2=4x(x>0).


(2)解:设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).

设l的方程为x=ty+m,由 得y2﹣4ty﹣4m=0,△=16(t2+m)>0,

于是

(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2<0②

,于是不等式②等价于 ③由①式,不等式③等价于m2﹣6m+1<4t2

对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1<0,解得

由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有 ,且m的取值范围


【解析】(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,然后根据等量关系列方程整理即可.(2)首先由于过点M(m,0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B,则设该直线的方程为x=ty+m(包括无斜率的直线);然后与抛物线方程联立方程组,进而通过消元转化为一元二次方程;再根据韦达定理及向量的数量积公式,实现 <0的等价转化;最后通过m、t的不等式求出m的取值范围.

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