题目内容
【题目】如图,在四面体中,
平面
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)求四面体的外接球的表面积.
(注:如果一个多面体的顶点都在球面上,那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积)
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)易证平面
,进而得
;
(Ⅱ)以,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,分别求出平面
的一个法向量为
和平面
的一个法向量为
,利用法向量求二面角即可;
(Ⅲ)取的中点为
,由线段长相等即可证得
为四面体
的外接球的球心,进而可求球的表面积.
试题解析:
(Ⅰ)因为平面
,
平面
,
所以.
又因为,
,
所以平面
.
又因为平面
,
所以.
(Ⅱ)如图,设的中点为
,
的中点为
,连接
,
,
因为平面
,
所以平面
,由
,且
,可得
,
,
两两垂直,所以分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,/p>
则,
,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,
,得
令,得
.
设平面的一个法向量为
,
由,
,得
令,得
.
所以.
由图可知,二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)根据(Ⅱ),记的中点为
,
由题意, 为直角三角形,斜边
,
所以.
由(Ⅰ),得平面
,
所以.
在直角中,
为斜边
的中点,
所以.
所以为四面体
的外接球的球心,
故四面体的外接球的表面积
. .
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