题目内容
【题目】在直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,点
在椭圆上,若圆
的一条切线(斜率存在)与椭圆C有两个交点A,B,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求圆O的标准方程;
(3)已知椭圆C的上顶点为M,点N在圆O上,直线MN与椭圆C相交于另一点Q,且,求直线MN的方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据离心率得到,代入点得到
,计算得到答案.
(2)设切线方程为,
,
,联立方程得到
,
,根据
得到
,计算圆心到直线的距离得到答案.
(3),设
,
,根据
得到
,代入椭圆得到
,得到直线方程.
(1)椭圆的离心率为
,点
在椭圆上,
故,
,解得
,
,即
.
(2)设切线方程为,
,
,
则,化简得到
,
故,
,
,
代入化简得到:,验证满足
.
故,故圆方程为
.
(3),设
,
,
,即
,
故,
代入椭圆方程:,化简
,
故,即
,故
.

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