题目内容
设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:①函数f3(x)在区间(,1)内不存在零点;
②函数f4(x)在区间(,1)内存在唯一零点;
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间(,1)内的零点,则xn<xn+1.
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】分析:①确定函数的单调性,利用零点存在定理,进行验证;
②确定函数的单调性,利用零点存在定理,进行验证;
③函数在(,1)上是单调增函数,fn+1(x)<fn(x),即可得到结论.
解答:解:①f3(x)=x3+x-1,∵f3′(x)=3x2+1>0,∴函数在R上是单调增函数,∵f3()=-<0,f3(1)=1>0,∴函数f3(x)在区间(,1)内存在零点,即①不正确;
②f4(x)=x4+x-1,∵f4′(x)=4x3+1,∵x∈(,1),∴f4′(x)>0,∴函数在(,1)上是单调增函数,∵f4()=-<0,f4(1)=1>0,∴函数f4(x)在区间(,1)内存在零点,即②正确;
③fn(x)=xn+x-1,∵fn′(x)=nxn-1+1,∵x∈(,1),∴fn′(x)>0,∴函数在(,1)上是单调增函数,∵fn+1(x)-fn(x)=xn(x-1)<0,∴函数在(,1)上fn+1(x)<fn(x),∵xn(n>4)为函数fn(x)在区间(,1)内的零点,∴xn<xn+1,即③正确
故答案为:②③
点评:本题考查的知识点是零点存在定理,导数法判断函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
②确定函数的单调性,利用零点存在定理,进行验证;
③函数在(,1)上是单调增函数,fn+1(x)<fn(x),即可得到结论.
解答:解:①f3(x)=x3+x-1,∵f3′(x)=3x2+1>0,∴函数在R上是单调增函数,∵f3()=-<0,f3(1)=1>0,∴函数f3(x)在区间(,1)内存在零点,即①不正确;
②f4(x)=x4+x-1,∵f4′(x)=4x3+1,∵x∈(,1),∴f4′(x)>0,∴函数在(,1)上是单调增函数,∵f4()=-<0,f4(1)=1>0,∴函数f4(x)在区间(,1)内存在零点,即②正确;
③fn(x)=xn+x-1,∵fn′(x)=nxn-1+1,∵x∈(,1),∴fn′(x)>0,∴函数在(,1)上是单调增函数,∵fn+1(x)-fn(x)=xn(x-1)<0,∴函数在(,1)上fn+1(x)<fn(x),∵xn(n>4)为函数fn(x)在区间(,1)内的零点,∴xn<xn+1,即③正确
故答案为:②③
点评:本题考查的知识点是零点存在定理,导数法判断函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目