Question

设函数f_n（x）=xⁿ+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₃（x）在区间（

1

2

，1）内不存在零点；
②函数f₄（x）在区间（

1

2

，1）内存在唯一零点；
③设x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（

1

2

，1）内的零点，则x_n＜x_n+1．
其中所有正确结论的序号为______．

Answer 1

①f₃（x）=x³+x-1，∵f₃′（x）=3x²+1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f₃（

1

2

）=-

3

8

＜0，f₃（1）=1＞0，∴函数f₃（x）在区间（

1

2

，1）内存在零点，即①不正确；
②f₄（x）=x⁴+x-1，∵f₄′（x）=4x³+1，∵x∈（

1

2

，1），∴f₄′（x）＞0，∴函数在（

1

2

，1）上是单调增函数，∵f₄（

1

2

）=-

7

16

＜0，f₄（1）=1＞0，∴函数f₄（x）在区间（

1

2

，1）内存在零点，即②正确；
③f_n（x）=xⁿ+x-1，∵f_n′（x）=nx^n-1+1，∵x∈（

1

2

，1），∴f_n′（x）＞0，∴函数在（

1

2

，1）上是单调增函数，∵f_n+1（x）-f_n（x）=xⁿ（x-1）＜0，∴函数在（

1

2

，1）上f_n+1（x）＜f_n（x），∵x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（

1

2

，1）内的零点，∴x_n＜x_n+1，即③正确
故答案为：②③