题目内容
设函数fn（x）=1+
+
+…+
，n∈N*．
（1）证明：e-xf3（x）≤1；
（2）证明：当n为偶数时，函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
| x |
| 1! |
| x2 |
| 2! |
| xn |
| n! |
（1）证明：e-xf3（x）≤1；
（2）证明：当n为偶数时，函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
分析：（1）写出要用的函数，对于函数求导，整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性，从而确定其最大值．
（2）先证明n为偶数时，fn（x）=0无解，Fn（x）=e-xfn（x），求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，看出方程根的个数，从而得出交点的个数，同样的方法证明当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
（2）先证明n为偶数时，fn（x）=0无解，Fn（x）=e-xfn（x），求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，看出方程根的个数，从而得出交点的个数，同样的方法证明当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
解答：解：（Ⅰ）f3（x）=1+x+
+
，设F（x）=e-xf3（x）=e-x（1+x+
+
），
F′（x）=e-x（1+x+
x2）-e-x（1+x+
+
）=-e-x•
，
列表如下：
∴y=F（x）为（-∞，0]上的增函数，（0，+∞）上的减函数，且F（0）=1．
∴F（x）≤1，即：e-xf3（x）≤1
（2）先证明n为偶数时，fn（x）=0无解．
证明：当n为偶数时，设Fn（x）=e-xfn（x）=e-x（1+
+
+…+
）．
设n=2k（k∈N*）则Fn′（x）=-e-x•
x2k-1，
当x＞0时，Fn′（x）＜0，当x＜0时，Fn′（x）＞0
∴Fn（x）在（-∞，0）上增，在（0，+∞）上减，
Fn（x）max=Fn（0）=0，所以n为偶数时，Fn（x）=0无解，从而函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；．
再证n为奇数时，fn（x）=0有唯一解
证明：设Fn（x）=e-xfn（x）=e-x（1+
+
+…+
）．
设n=2k+1（k∈N*）则Fn′（x）=-e-x•
x2k＜0，
所以y=Fn（x）为R上的减函数，
而F（1）＞0，F（-1）＜0，
所以方程Fn（x）=0有唯一解，从而函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 6 |
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 6 |
F′（x）=e-x（1+x+
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 6 |
| x3 |
| 6 |
列表如下：
| x | （-∞，0） | （0，+∞） |
| F'（x） | + | - |
| F（x） | 增 | 减 |
∴F（x）≤1，即：e-xf3（x）≤1
（2）先证明n为偶数时，fn（x）=0无解．
证明：当n为偶数时，设Fn（x）=e-xfn（x）=e-x（1+
| x |
| 1! |
| x2 |
| 2! |
| xn |
| n! |
设n=2k（k∈N*）则Fn′（x）=-e-x•
| 1 |
| (2k-1)! |
当x＞0时，Fn′（x）＜0，当x＜0时，Fn′（x）＞0
∴Fn（x）在（-∞，0）上增，在（0，+∞）上减，
Fn（x）max=Fn（0）=0，所以n为偶数时，Fn（x）=0无解，从而函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；．
再证n为奇数时，fn（x）=0有唯一解
证明：设Fn（x）=e-xfn（x）=e-x（1+
| x |
| 1! |
| x2 |
| 2! |
| xn |
| n! |
设n=2k+1（k∈N*）则Fn′（x）=-e-x•
| 1 |
| 2k! |
所以y=Fn（x）为R上的减函数，
而F（1）＞0，F（-1）＜0，
所以方程Fn（x）=0有唯一解，从而函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
点评：考查函数的单调性，考查函数的最值，本题解题的关键是应用函数的导函数求解，注意函数和方程之间的关系．
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），证明：
，满足fn（xn）=0；
．